atan(x), atan2(y,x)の高速な実装

少し前にatan(x)のテーブル化についての記事を書きましたがソースコードがなかったので あげておきます.  このコードはテーブルのサイズをかなり大きくしたのでROMを2.5KByte程消費します.  
このコードはatan(x)およびatan2(ｙ,x)をfloatの乗算2回, 除算1回で求めることができ, かつ精度はなかなか高いです.  テーブルのサイズを削ればもちろんROM消費は減りますが精度が犠牲になります.  最近のマイコンはROMは比較的潤沢なので, じゃばじゃば使ってしまおうというコンセプトのもと作ったコードなのであしからずです.  ちなみにmathf.hのatan(x)はくっそ重いです.

sqrt(x)と1/sqrt(x)の組み込み向け実装

sqrt(x)と1/sqrt(x)の高速な実装を考えてみます.

sqrt(x)はニュートン法を用いて求めることが多いようです.  ニュートン法はf(x) = 0の解を
求めるためのアルゴリズムです.  問題になるのはニュートン法を実行するときの初期値でしょう.
これはテーブルを用いたりいろいろな方法で見つけます.  しかし, 今回は1/sqrt(x)の高速実装を用いてsqrt(x)を計算するコードを紹介します.

まずは1/sqrt(x)のコードを見てみましょう.
一見???ですがこのコードで1/sqrt(x)が計算できます. wikipediaのhttps://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root　に詳細はあります. このコードは前半でbit演算のみで1/sqrt(x)の大体の値を求め, 後半でニュートン法を行い計算の精度を上げています.

1/sqrt(x)が求まればあとはx*1/sqrt(x)でsqrt(x)が得られます. mySqrt(x),invSqrt(x)いずれも精度と速度はニュートン法の回数で調整できます. invSqrt(x)はベクトルの正規化の際等に使えます. たぶん, mathf.hのsqrt(x)を使うよりかは高速だと思います.